hasil kali beberapa isometri

Hasil kali beberapa isometri

A.    Refleksi Geser

Definisi :

Misalkan s suatu garis dan AB suatu garis berarah dengan AB // s. Suatu refleksi  geser G adalah pemetaan yang memenuhi g = M_sS_AB.

            Dari definisi tersebut dapat dikatakan bahwa suatu refleksi geser adalah suatu geseran yang bukan I yang dilanjutkan oleh suatu refleksi terhadap garis yang sejajar dengan arah geseran. Berkenaan dengan sifat transformasi geseran dan pencerminan yang merupakan isometri, maka G adalah suatu isometric. Selanjutnya garis s tersebut juga sumbu bagi refleksi geser itu.

            Teorema berikut memperlihatkan bahwa urutan dalam refleksi dapat dibalik.

Teorema:

Misal s garis dan AB garis berarah.

Jika s//AB, maka M_sS_AB = S_ABMs.

Misalkan r dan t dua garis yang tegak lurus s sedemikian sehingga (r,t) = ¹/₂  |AB|.

Misal = (r,s) dan Q = (t,s)

Diperoleh

M_sS_AB  = M_g H_Q H_p

            = M_g (M_gM_t) (M_rM_s)

            = (M_gM_s) (M_rM_r) M_g

                = I S_ABM_s

Jadi terbukti G = M_sS_AB = S_ABM_s

Teorema :

Suatu refleksi geser tidak mempunyai titik tetap.

Satu-satunya garis tetap adalah sumbunya sendiri.

(Bukti sebagai Latihan)

Teorema :

Misal t suatu garis dan CD suatu garis berarah sedemikian sehingga CD tidak tegak lurus t. terdapat suatu refleksi geser G sedemikian sehingga G = S_CDM_t

Bukti :

Misal titik E sedemikian sehingga CE tegak lurus t dan ED // t.

Diperoleh |CD|= |CE|+|ED|.

Misalkan p suatu garis dengan p // t dan jarak (p,t) = ½ |CE|

Maka :

S_CDM_t = S_EDS_CE M_t

            = S_ED (M_p M_t) M_t

            = S_ED M_p (M_t M_t)

            = S_ED M_p I

            = S_ED M_p = G ( = suatu refleksi geser karena p // ED )

Jadi terbukti jika t suatu garis dan CD suatu garis berarah sedemikian sehingga CD tidak tegak lurus t. Terdapat suatu refleksi geser G sedemikian sehingga G = S_CDM_t

Atau dapat dikatakan bahwa untuk CD yang tidak yang tidak tegak lurus t, hasil kali suatu pencerminan terhadap t dan geseran dengan vector Cd sehingga selalu berupa suatu refleksi geser.

Teorema :

Missal s suatu garis dan A titik diluar s. Misalkan diketahui suatu sudut dengan besar . Terdapat suatu refleksi geser G₁ dan G₂ sedemikian sehingga G₁ = M_sR_A. dan G2 = R_A.M_s.

(dengan kata lain teorema ini, mengatakan bahwa suatu putaran terhadap A dan diikuti oleh suatu refleksi terhadap garis s atau sebaliknya merupakan suatu refleksi geser).

Misalkan r garis yang melalui A dan r // s.

Misalkan t garis yang melalui A dengan m (<(t,r)) = ½

Diperoleh M_s R_A,        = M_s (M_r M_t)

= (M_s M_r) M_t

= S_CD M_t

= G₁

Terbukti :

Untuk membuktikan RA,  Ms = G2 daoar dibuktikan dengan cara yang analog dengan bukti diatas.

Perhatikan :

Untuk titik A yang terletak pada garis s, dapat ditarik garis t melalui A dengan m(<(s,t)) = ½ . Sehingga :

M_s R_A,               = M_s (M_s M_t)

                        = (M_s M_s)M_t

                        = I M_t

                        = M_t

(suatu refleksi terhadap t)

Teorema :

Misalkan s suatu garis, P titik yang tidak terletak pada s. Misal r garis yang melalui P tegak lurus s. Maka berlaku :

a.      H_pM_s merupakan suatu refleksi geser yang sama dengan M_rS_AB

b.      M_sH_p merupakakn suatu refleksi geser yang sama dengan S_CDM_r

Bukti :

Missal t adalah garis yang melalui P dengan t // s dan r garis yang melalui P dengan r tegak lurus s.

Missal AB garis berarah dengan AB//r, |AB|= 2 kali jarak (s,t) dan CD garis berarah dengan CD//r, |CD| = 2 kali jarak (t,s).

Sehinggan H_P M_s        = (M_r M_t) M_s

                                    = M_r (M_t M_s)

                                    = M_r S_AB

Kemudian M_s H_P        = M_s ( M_t M_r )

                                    = (M_s M_t) M_r

                                    = S_CD M_r

Teorema :

Suatu refleksi geser G = Ms SCD selalu dapat dinyatakan sebagai hasil kali HbMa atau MbHA dengan a tegak lurus s dan b tegak lurus s serta A = (a,s) dan B = (b,s), (a,b) = ½ |CD|

Bukti:

Dari yang diketahui s // Cd, dan a ┴ s, b // a dengan (a,b(= ½ |CD|,maka G= Ms SCD    = Ms ( Mb Ma )

                        = (Ms Mb ) Ma

= HB Ma

Kemudian karena berlaku MsMb = MbMs maka

G= (M_s M_b) M_a

= (M_b M_s) M_a

= M_b (M_s M_a)

= M_b H_A

Jadi terbukti suatu refleksi geser G = M_g S_CD selalu dapat dinyatakan sebagai hasil kali H_BM_a atau M_bH_A dengan a tegak lurus s dan tegak lurus s serta A = (a,s) dan B = (b,s) , (a,b) = ½ |CD|.